Priemerovanie meraní - odhad chyby

[mithril]

EDIT 2. 12. 2013: úprava terminológie a zmena formulácií – na základe Winwardovho upozornenia

Pri meraní sa doporučuje merať viackrát a vypočítať priemer. Napadlo vás niekedy, ako odhadnúť presnosť priemerného výsledku?

Príklad – indexová chyba
Jednotlivé merania IE [']: 7,6 9,2 9,0 8,4 8,4 8,0 7,2 8,6
Priemer [']: 8,3

Odhad presnosti:
Absolútne odchýlky od priemeru (|IE – priemer|): 0,7 0,9 0,7 0,1 0,1 0,3 1,1 0,3
Priemer absolútnych odchýlok [']: 0,525

Kúzlo*: pohľad do tabuľky:
<pre> 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2<br>3 merania 87% 85% 82% 78% 73% 67% 58% 48% 34% 18%<br>4 merania 94% 92% 90% 87% 83% 77% 68% 56% 41% 22%<br>5 meraní 97% 96% 95% 92% 89% 83% 75% 63% 46% 25%<br>6 meraní 99% 98% 97% 95% 92% 88% 80% 69% 51% 28%<br>8 meraní 100% 99% 99% 98% 96% 93% 87% 77% 59% 33%<br>10 meraní 100% 100% 100% 99% 98% 96% 92% 82% 65% 37%</pre>
Na riadku "8 meraní" nájdeme v stĺpci "1,2" (stĺpec pre 1,2násobok priemeru absolútnych odchýlok) hodnotu 96 %, čo je pravdepodobnosť, že IE je 8,3 ' ± 0,63 ' (t. j. 1,2 × 0,525). Podobne, je 87% pravdepodobnosť, že skutočná IE je 8,3 ' ± 0,42 ' (t. j. 0,8 × 0,525).

Postup sa hodí, keď sa uhly nemenia – pri meraní indexovej chyby, terestrické meraniach na zemi či na stojacom plavidle. Pri meraniach v astronavigácii ho možno s trochou nepresnosti použiť, ak sa merania spracovávajú lineárnou regresiou (čo sa asi nerobí) alebo jej grafickou obdobou – vynesením bodov do súradnicovej siete čas × výška a preložením priamky bodmi tak, aby pomedzi ne viedla čo najbližšie. Zvislé vzdialenosti jednotlivých bodov od priamky potom možno stotožniť s absolútnymi odchýlkami jednotlivých meraní.

*Tabuľka je štatistika z 10 miliónov náhodne generovaných meraní zaťažených náhodnou chybou s normálnym rozdelením. Zdroják (Java)

[windward]

Pri meraní sa doporučuje merať viackrát a vypočítať priemer.

Toto neni doporuceni, ale nutnost. Vyjimka je mozna pouze pokud to pripusti metoda, podminky a navigatorova zkusenost.

Absolútne chyby (|IE – priemer|): ...
Priemer absolútnych chýb [']: ...

Toto nejsou absolutni chyby, ale absolutni hodnoty odchylek od prumeru. Absolutni chyba je odchylka od etalonu, nikoliv od prumeru.

Jinak, v cele navigaci (nehlede na druh) presnost vysledne hodnoty libovolne observace nebo pozicni linie se resi stredni kvadratickou chybou (SKC, znaci se "m"). SKC je jednoduse receno statisticka funkce "sdandardni deviace", jak ji zna napriklad Excel.

Jinymi slovy, pro rychle ziskani predstavy o vlastni presnosti je treba radu observovanych hodnot zadat do Excelu a projit ji funkci STDEV (nebo neco takeveho). Vysledek je SKC. (Nebudu zabredat moc hluboko, pro predstavu to staci.)

Pravdepodobnost se v navigaci ocenuje podle normalniho rozlozeni. Pravdepodobnost (rikam z hlavy, uplne presne hodnoty si nepamatuji), ze hodnota bude v ramci +/- 1m = 68%, 2m = 98, 3m = 99.5. Pro vetsinu praktickych pripadu staci vedet, ze +/- 2m dava temer 100% za normalnich podminek. (Tj. v praxi se vubec neuvazuje zavislost pravdepodobnosti na poctu clenu statistickeho masivu. Ma se za to, ze pravdepodobnost je stejna pri poctu clenu od 3 do 11. Jedenact clenu jsou dostacujici pro absolutni vetsinu statistickych vypoctu v navigaci, kterou provadi clovek.)

Postup sa hodí pre... terestrické merania, kedy sa uhly nemenia.

V beznem pripade uhly se meni v dusledku pohybu plavidla.

Pri meraniach v astronavigácii ho možno použiť, ak sa merania spracovávajú lineárnou regresiou (čo sa asi nerobí) alebo jej grafickou obdobou – vynesením bodov do súradnicovej siete čas × výška a preložením priamky bodmi tak, aby pomedzi ne viedla čo najbližšie. Zvislé vzdialenosti jednotlivých bodov od priamky potom možno stotožniť s absolútnymi chybami jednotlivých meraní.

Zde je nutne ovsem si uvedomovat, ze prirustky vysek jsou umerne prirustkum casu pouze v urcitych pripadech. Mimo prvni vertikal nebo elongaci vysky prirustaji se zrychlenim. Proto odchylky od stredu podle navrhovaneho postupu budou obsahovat zrychleni prirustku. (Nehlede na to, ze v okoli kulminace primka pujde prokladat jen tezko. A prumerovani v kulminaci je samo o sobe blud, hruba chyba.)

[brin]

Koukám Windward má nastudovanou statistiku:-) Ano, je to přesně jak říkáš. U GPS souřadnic i jiných zeměpisných souřadnic se to přesně takto počítá.

[windward]

Pro zajimavost.

Vlakno o observaci chyby indexu modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=2629&start=all&postdays=0&postorder=asc

Vlakno o umernosti prirustku vysek modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=2558

[Jezura]

Zde přítomný Windward by mě asi zabil, neb ač mě to taky učil, dělám to jinak....vycházím z toho, že pokud průměruju více naměřených hodnot, vyjde mi logicky hodnota nepřesná.

Takže po provedení měření (observací) se podívám na výsledky, vymyká-li se nějaké měření zbytku, ignoruju ho a použiju libovolný výsledek z těch ostatních. Pokud je rozptyl všech měření (sorry Romane, mně nějak ten správný výraz z huby neleze) větší než nepatrný, uznám, že jsem pako a jdu měřit znova.

Je-li rozptyl nepatrný, bude i chyba kteréhokoli měření nevýznamná a při nenulové pravděpodobnosti, že to blbě zprůměruju, mi to nestojí za tu dřinu....

[windward]

Zde přítomný Windward by mě asi zabil

Windward pocka, az se sam zprumerujes po dvou ci po trech. Jinak te take zdravim, pane kapitane.

vycházím z toho, že pokud průměruju více naměřených hodnot, vyjde mi logicky hodnota nepřesná..

Nepochybne. Kdyz vezmu jednu hodnotu, pak je to jenom jedna chyba. Kdyz dve hodnoty, pak jsou to dve chyby.

Nu tak co tedy... Priznaky vcelku spravne analyzy jsou, rozhodnuti na jeji zaklade jsou take vcelku pravna... S nekterymi tvrzenimi bych asi nesouhlasil, ale je to asi fuk. Stejne to udelas podle sebe.

Akorat vzepru se proti mereni... Meri se pocet kroku od kormidla k baru (pardon, ke kapitanske knihovne). Ale nebeska telesa se observuji.

[mithril]

Toto nejsou absolutni chyby, ale absolutni hodnoty odchylek od prumeru. Absolutni chyba je odchylka od etalonu, nikoliv od prumeru.

Ďakujem za opravu, opravil som i v pôvodnom príspevku.

Jinak, v cele navigaci (nehlede na druh) presnost vysledne hodnoty libovolne observace nebo pozicni linie se resi stredni kvadratickou chybou (SKC, znaci se "m"). SKC je jednoduse receno statisticka funkce "sdandardni deviace", jak ji zna napriklad Excel.

Vytvoril som tabuľku pre priemernú absolútnu odchýlku, pretože že sa ľahšie počíta "ručne" – netreba umocňovať a odmocňovať, stačí sčitovať a deliť. Je pravda, že smerodajná odchýlka je robustnejšia.

funkci STDEV (nebo neco takeveho)

Je to [font=Courier New]STDEVP[/font]. [font=Courier New]STDEV[/font] odchýlku len odhaduje (nad veľkým súborom).

Pravdepodobnost se v navigaci ocenuje podle normalniho rozlozeni. Pravdepodobnost (rikam z hlavy, uplne presne hodnoty si nepamatuji), ze hodnota bude v ramci +/- 1m = 68%, 2m = 98, 3m = 99.5. Pro vetsinu praktickych pripadu staci vedet, ze +/- 2m dava temer 100% za normalnich podminek. (Tj. v praxi se vubec neuvazuje zavislost pravdepodobnosti na poctu clenu statistickeho masivu. Ma se za to, ze pravdepodobnost je stejna pri poctu clenu od 3 do 11. Jedenact clenu jsou dostacujici pro absolutni vetsinu statistickych vypoctu v navigaci, kterou provadi clovek.)

Pripravil som tabuľku aj pre smerodajnú odchýlku, ktorá Tvojim číslam zodpovedá, ak je počet členov okolo 4. Pre väčší počet členov teoreticky rastie aj presnosť:
<pre> 4,0 3,8 3,6 3,4 3,2 3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2<br> 2 84% 84% 83% 82% 81% 80% 78% 77% 75% 73% 70% 68% 64% 61% 56% 50% 43% 34% 24% 13%<br> 3 97% 97% 96% 96% 95% 95% 94% 93% 92% 91% 89% 87% 85% 81% 77% 71% 62% 51% 37% 20%<br> 4 99% 99% 99% 99% 99% 99% 98% 98% 97% 97% 96% 95% 93% 91% 87% 82% 74% 62% 46% 25%<br> 5 100% 100% 100% 100% 100% 100% 99% 99% 99% 99% 98% 98% 97% 95% 93% 88% 82% 70% 53% 29%<br> 6 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 99% 99% 98% 97% 96% 92% 87% 76% 59% 33%<br> 7 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 99% 99% 97% 95% 90% 81% 63% 36%<br> 8 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 99% 98% 97% 93% 84% 67% 39%<br> 9 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 99% 98% 95% 87% 71% 41%<br> 10 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 99% 98% 96% 89% 74% 44%<br></pre>

Zde je nutne ovsem si uvedomovat, ze prirustky vysek jsou umerne prirustkum casu pouze v urcitych pripadech. Mimo prvni vertikal nebo elongaci vysky prirustaji se zrychlenim. Proto odchylky od stredu podle navrhovaneho postupu budou obsahovat zrychleni prirustku. (Nehlede na to, ze v okoli kulminace primka pujde prokladat jen tezko. A prumerovani v kulminaci je samo o sobe blud, hruba chyba.)

Nemusí to byť pravidlo, ale v 3 pokusoch bola najväčšia nelinearita okolo 0,2' (priamku som prekladal výškami vypočítanými na http://aa.usno.navy.mil pre 5 rôznych časov z intervalu dlhého 6–10 minút). Chyba mojich observácií je asi 30× väčšia.